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    这一讲主复数的运算动手

      课程简介:微分方程是一门表述天然的言语。理解微分方程解的性质,是很多现代科学和工程的根本。进修内容包罗:操纵注释、图形和数值方式求解一阶常微分方程,线性常微分方程,不定系数和参变数,正弦和指数信号,复数和幂,傅立叶级数,周期解,Delta函数、卷积和拉普拉斯变换方式,矩阵和一阶线性系统,非线性系统。

      这一讲的次要内容是一阶线;,及其解法积分因子法。这一讲通过两个现实问题——“热传导问题”和“溶液浓度扩散问题”,引出了ODE中“最主要”的一节线性微分方程,并透辟。

      这是一阶方程组的第一讲,起首引入了形如x=fx,y,t;y=gx,y,t的一阶方程组。传授讲了一些现实用到一阶方程组的例子,然后操纵煮鸡蛋的例子,演示了若何用比力曲不雅的消元法来求解。最初传授给出了速度场的几何注释。

      这一讲是关于共振的。为什么输入频次等于固有频次时,振幅会达到最大?传授从微分方程和数学的角度注释了这个问题。之后传授了带阻尼环境下的共振,考虑了输入频次和阻尼伪频次之间什么关系时,才能实现这种共振。

      这一讲从题是操纵傅里叶级数求x+ω0x=ft的特解,此中ft化为傅里叶级数,通过sin和cos的可解性来求特解。这一讲采用了方波的例子,告诉我们方程的输入响应系统是若何天然选出取固有频次最接近的共振项的,并以此简单引见了人耳识别乐音的机理。

      这一讲出格引见了一阶常系数线;,并注释了k0时稳态和暂态的内涵。出格地,这一讲强调了y+ky=kqt形式的方程及正在响应模子中的使用,并引入输入-响应的概念。最初以正弦波输入做为例子,了阐发和求解此类方程的复方式。

      分歧于一般常微分方程课程陈旧见解地从分手变量和一阶线性方程讲起,MIT《微分方程》第一讲就以奇特的视角从全局的角度注释了微分方程的内涵。课程从标的目的场和积分曲线入手,深切透辟地分解了微分方程的本色。一上来,撇开那些有解的特殊的微分方程不谈,却从几何标的目的通俗易懂,而又全面深切地告诉我们什么是微分方程,解微分方程其实是什么。

      这一讲引见非线性的环境,次要是通过轻细阻尼的非线性摆的例子,引见了该环境下若何求临界点,并做轨迹草图。简谐振动中,摆利用的是小角近似为线脾气况,这一讲是一个推广,摆利用的不必然是小角,稳定ag手机手机平台,不外仍然通过线性化获得注释。

      老头爽约了,他没有按之前说的,讲线性方程的解法,而是起头讲数值方式。按他本人的话说:“线性方程仍是推迟到下一讲吧,大都微分方程都是通过数值方出来的,先讲这个更好”。他还说:“现正在曾经是二十一世纪了,计较机都能帮你搞定”。听了他的课才领略,数学不只是那几个臭公式,更主要的是使用。听了他的课,让人深刻地认识到,计较机和数学之间的联系如斯慎密。

      这一讲次要是讲腾跃式不持续函数ut=1t0; 0t0的环境,从头定义拉普拉斯逆变换的独一性,即Lut=1/s。之后传授讲到了函数平移之后的拉普拉斯变换若何进行,之后推广到更一般的不持续输入问题。最初传授以几个适用的例题做结。

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      这一讲引见换元法(或译做代换法,substitution method),并以此为思惟将某些特定形式的一阶方程为可分手变量方程或线性方程。本讲用换元决了两类特定的一阶方程,即伯努利方程和齐次方程。伯努利方程y=pxy+qxy,通过换元化为可分手变量方程。齐次方程y=Fy/x,令z=y/x可化为线性方程。

      这一讲的从题是极限环,起首传授给出了极限环的定义,它起首是方程组的解构成的一条闭合轨迹,别的它分歧于一般闭合轨迹,它必需是附近轨迹正在t趋于无限时迫近的轨迹。然后传授引见了极限环何时不存正在的两个原则,别离是本迪克松原则和临界点原则,证明本迪克松原则时,证明过程中涉及了反,以及逆否命题逻辑。最初传授引见了极限环的一些汗青,并用他履历的一个风趣故事竣事了本课,取某位中国传授相关。

      这一讲的会商对象是二阶齐次线;y+qxy=0,会商了其通解的性质,为何用两个线性的解就能暗示所有解,并且所有解都正在通解的调集内。并注释了叠加道理、独一性、朗斯基行列式等概念。

      记得幂级数吧,如1/1-x=Σx^n、e^x=∑x^n/n!,考虑某种变换,让两个幂级数的系数1和1/n!别离对应于fx=1/1-x或fx=e^x,这很容易。其实拉普拉斯变换取这是对应的。传授用这种深切浅出的,让我们领会了拉普拉斯变换的由来。然后别离计较了1、e^at、cosat等几种常见函数的变换,并了指数位移的主要公式。赫赫有名的拉普拉斯变换,其实并不难。

      这一讲引入了卷积公式ft*gt=∫fugt-udu。传授从两个方面引见了卷积的由来和用处:理论方面,卷积和拉氏变换亲近相关,LfLg=Lf*g,卷积由拉氏变换乘积关系的天然发生;实践方面,卷积最遍及的例子是用做放射物质倾泻的堆集量问题。传授别的还举了三个现实例子。这一讲全面分解了卷积公式,并做到了实正的深切浅出。

      这一讲继续强调一阶常系数线性方程和复数思惟。出格强调了正弦输入的环境,并巧妙地通过向量法和复数法给出了三角恒等式acosθ+bsinθ=Ccosθ-φ的证明。这一讲的最初,用温度、夹杂、RC电、衰变和增加等多个模子为一阶常系数线性方程画上了完满的句号。

      这一讲传授讲到了2x2常系数齐次线性方程组各类环境的图像,以此但愿给学生一个比力曲不雅的感触感染,此类方程组解是什么样子。为此,传授引入了两州旅逛合作模子,别离就特征方程中存正在两负实根、一正一负实根、以及复根的三种环境给出了方程组解的草图。

      这一讲的从题是二阶常系数齐次线。这种方程正在现实中对应弹簧-质量-阻尼系统,其一般性解法是代入e^rt,然后通过特征方程r+Ar+B=0求出r。按照特征方程根的性质,分为两个分歧实根、二沉实根和复根三种环境,别离对应过阻尼、临界阻尼和欠阻尼三种环境。

      这一讲是上一讲的续集,起首考虑了奇函数和偶函数两种环境,了傅里叶级数正在这些环境下若何简化运算(以及若是将积分简化到半个周期内)。然后将2π周期延长到了肆意周期2L的环境。最初课程引见了非周期函数的延长,肆意无限区间都能够用到傅里叶级数。出格地,传授还讲到了傅里叶级数和泰勒级数着眼点的异同。

      复数正在ODE中使用相当普遍。这一讲从复数的运算动手,落脚于复数的极坐标形式。环绕欧拉公式e^iθ=cosθ+isinθ展开,从各个方面细致引见了这种美好形式的由来。这一讲还操纵复指数巧妙地处理了∫e^xsinxdx这种指数、三角函数夹杂型积分,方式效率弘远于常规的分部积分法。

      这一讲起首深切了二阶常系数齐次线的解若何正在实解和复解之间进行转换。然后将方程化为具有物理意义的形式的振动方程y+2py+ωy=0,别离会商了无阻尼景象(p=0)时解的性质和意义,以及阻尼环境下解的性质和振动的环境。

      这一讲的沉点是二阶非齐次线;y+qxy=fx。起首是将fx当作输入或驱动,用弹簧和电两个例子强调方程的主要性。然后用线性算子,描述领会的一般形式和布局。这一讲的另一个沉点是暂态和稳态,正在什么前提下对二阶线性方程成立,传授用一句精辟的结论总结了这个问题。

      本课的一起头,传授引见了非线性自治方程组和一阶常微分方程之间的关系,指出一阶常微分方程只是方程组消去时间t的消息的成果,同时也让大师大白了速度场取标的目的场、轨迹取积分曲线之间的联系。然后传授通过成立捕食者-猎物模子的一个非线性方程组,引出一个问题:鸿沟线景象,即当方程组参数处于特征方程两个区域的鸿沟时,参数小的变更可能形成临界点的几何类型完全分歧,所以正在做方程组线性化时,近似就会带来方程类型无法确定的问题。所以使方程组退化的一个劣势就表现出来:消去t使得有时方程变得可解,并避开鸿沟线景象,传授用这个方出了方程组,并引出一个结论:沃尔泰拉,即人类对天然盲目标干涉,很可能制难或拔苗助长的成果。

      这一讲的从题是一阶自治方程y=fy。这一讲不涉及到此类方程的解法,转而考虑正在不求解方程的前提下,进行定性阐发,曲不雅地获得方程的相关消息,从而避免了因为积分复杂形成不需要的无用功。这一讲还细致了自治方程的一些适用模子:银行存款模子、生齿增加模子。

      这一讲给出了齐次线;=Ax的解耦解法,这是第三种方式。因为正在自科和工程范畴,方程组凡是具有物理意义,解耦解法能偶供给对解更为素质的认识,因而传授将其做为这一讲的从题。起首是一个现实例子,然后是一般方程组的解法。

      傅里叶级数正在数论、组合数学、信号处置、概率论、统计学、暗码学、声学、光学等范畴都有着普遍的使用。这一讲起首引见以2π为周期的函数ft能够写做c0+∑ancosnt+bnsinnt的傅里叶无限级数形式。传授通过三角函数正交关系的证明,给出了an和bn的表达式。

      这一讲继续以矩阵形式x=Ax会商常系数齐次线性方程组。讲堂上引入了反复实特征值和复特征值两种特殊环境,即特征方程解出沉根或复根的环境,两种环境传授别离举出一个现实例子进行会商。一个是鱼缸温度传送的例子,一个是苏飞传中的恋爱例子,惹起合座哄笑。

      这一讲的次要方针是用拉氏变换求解线性ODE,出格的,解y+py+qy=ft形式方程。为此,传授起首引入导数的拉氏变换公式,即已知yt颠末拉氏变换获得Yt,那么y及y若何用Yt来暗示。拉氏变换解法也就是方程两边同时进行拉氏变换,然后求解获得的代数方程,之后使用部门分式,最初用拉氏逆变换求出解yt。

      这一讲过渡到非齐次方程组,仍是以2x2常系数方程组为例,以矩阵形式x=Ax+r进行。起首,传授引见了两个相关,为求解做了铺垫。然后引见了x=Ax的根基矩阵X。最初通过参数变分的方式,给出了非齐次方程组的特解xp=X∫X^-1rdt。

      这一讲给出了齐次微分方程组x=Ax的解的一般公式,即用矩阵指数e^At暗示根基矩阵X。同单个微分方程x=ax中,a能够看做是1x1矩阵,其解是e^at。这里就是方程组正在nxn矩阵上的推广,以此引入矩阵指数及其正在解方程组中的使用。



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